Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．

（1）求證：AE⊥平面PBC；

（2）試確定點F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當點F為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°

【解析】

（1）證明．，推出平面．得到．證明，得到平面．然后證明平面平面．

（2）分別以的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，求出為平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數量積求解即可．

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD

∴PA⊥BC

∵ABCD為正方形

∴AB⊥BC

又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB

∴BC⊥平面PAB

∴AE平面PAB

∴AE⊥BC

∵PA=AB，E為線段PB的中點

∴AE⊥PB

又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC

∴AE⊥平面PBC

（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

設正方形ABCD的邊長為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）

∴，，

設F（2，λ，0）（0≤λ≤2），

∴

設平面AEF的一個法向量為

則

∴

令y1=2，則

∴

設平面PCD的一個法向量為

則

∴

令y2=1，則

∴

∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，

∴，

解得λ=1，

∴當點F為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°