Question

點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求點P的坐標；

（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.

Answer 1

（1）由已知可得點A(－6,0),F(0,4)

   設點P(,),則={+6, },={－4, },由已知可得

          則2+9－18=0, =或=－6.

   由于>0,只能=,于是=.   ∴點P的坐標是(,)

   (2) 直線AP的方程是－+6=0.  設點M(,0),則M到直線AP的距離是.   于是=,又－6≤≤6,解得=2.

   橢圓上的點(,)到點M的距離有

  ,

由于－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值

解析:

設橢圓上動點坐標為(x,y)，用該點的橫坐標將距離d表示出來，利用求函數最值的方法求d的最小值. 　點評：解決有關最值問題時，首先要恰當地引入變量（如點的坐標、角、斜率等），建立目標函數，然后利用函數的有關知識和方法求解.