Question

（2012•四川）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂a_n=S₂+S_n對一切正整數n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）設a₁＞0，數列{lg

10a1

an

}的前n項和為T_n，當n為何值時，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，n=2時，由已知可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，分類討論：由a₂=0，及a₂≠0，分別可求a₁，a₂
（II）由a₁＞0，令bn=lg

10a1

an

，可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

，結合數列的單調性可求和的最大項

解答：解：（I）當n=1時，a₂a₁=s₂+s₁=2a₁+a₂①
當n=2時，得a22=2a1+2a2②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
若a₂=0，則由（I）知a₁=0，
若a₂≠0，則a₂-a₁=1④
①④聯立可得a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

綜上可得，a₁=0，a₂=0或a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

（II）當a₁＞0，由（I）可得a1=

2

+1，a2=

2

+2
當n≥2時，(2+

2

)an=s2+sn，(2+

2

)an-1=s2+sn-1
∴(1+

2

)an=(2+

2

)an-1
∴an=

2

an-1（n≥2）
∴an=a1•(

2

)n-1=(1+

2

)•(

2

)n-1
令bn=lg

10a1

an

由（I）可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

∴{b_n}是單調遞減的等差數列，公差為-

1

2

lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₇=lg

10

8

＞ 0
當n≥8時，bn≤b8=

1

2

lg

100

128

＜

1

2

lg1=0
∴數列{lg

1

an

}的前7項和最大，T7=

7(b1+b7)

2

=

7(1+1-3lg2)

2

=7-

21

2

lg2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及利用數列的單調性求解數列的和的最大項，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力．