Question

已知數列{a_n}是公差不為0的等差數列，a₁＝2，且a₂，a₃，a₄＋1成等比數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝a_n＋2a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

（1）a_n＝2n.
（2）S_n＝n²＋n＋ (4ⁿ－1).

解：(1)設數列{a_n}的公差為d，由a₁＝2和a₂，a₃，a₄＋1成等比數列，得
(2＋2d)²＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1.
當d＝－1時，a₃＝0，與a₂，a₃，a₄＋1成等比數列矛盾，舍去．
∴d＝2.
∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
即數列{a_n}的通項公式為a_n＝2n.
(2)∵b_n＝2n＋2²ⁿ＝2n＋4ⁿ，
∴S_n＝(2＋4¹)＋(4＋4²)＋…＋(2n＋4ⁿ)＝(2＋4＋…＋2n)＋(4¹＋4²＋…＋4ⁿ)＝＋＝n²＋n＋ (4ⁿ－1).