Question

某企業為加大對新產品的推銷力度，決定從今年起每年投入100萬元進行廣告宣傳，以增加新產品的銷售收入．已知今年的銷售收入為250萬元，經市場調查，預測第n年與第n－1年銷售收入a_n與a_n－1(單位：萬元)滿足關系式：a_n＝a_n－1＋－100.
(1)設今年為第1年，求第n年的銷售收入a_n；
(2)依上述預測，該企業前幾年的銷售收入總和S_n最大．

Answer 1

（1）a_n＝500－－100(n－1)
（2）前5年

解：(1)由題意可知a_n－a_n－1＝－100(n≥2)，
a_n－1－a_n－2＝－100，
…
a₃－a₂＝－100，
a₂－a₁＝－100，
a₁＝250＝.
以上各式相加得，
a_n＝500(＋＋…＋)－100(n－1)
＝500·－100(n－1)
＝500－－100(n－1)．
(2)要求銷售收入總和S_n的最大值，即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和．
∵a_n＝500－－100(n－1)，
∴要使a_n≥0，即500－－100(n－1)≥0，
也就是＋≤1.
令b_n＝＋，
則b_n－b_n－1＝＋－－＝－，
顯然，當n≥3時，b_n>b_n－1，
而b₅<1，b₆>1，
∴a₅>0，a₆<0.
∴該企業前5年的銷售收入總和最大．