Question

【題目】濱湖區擬建一主題游戲園，該游戲園為四邊形區域ABCD，其中三角形區城ABC為主題活動區，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12 m；AD、CD為游客通道（不考慮寬度），且∠ADC=120°，通道AD、CD圍成三角形區域ADC為游客休閑中心，供游客休憩．

（1）求AC的長度；
（2）記游客通道AD與CD的長度和為L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知由正弦定理，得 ，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12 cm，所以AC= =24m．
（2）解：因為∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，

在△ADC中，由正弦定理得到 ，

所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16 sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，當θ=30°時，L取到最大值 16 m．

【解析】（1）利用正弦定理，求AC的長度．（2）求出AD，CD，可得出L關于θ的關系式，化簡后求L的最大值．