Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2

3

，E是PB上任意一點．
（I）求證：AC⊥DE；
（II）已知二面角A-PB-D的余弦值為

15

5

，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）證明線線垂直，正弦證明線面垂直，即證AC⊥平面PBD；
（II）分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，用坐標表示點，求得平面PBD的法向量為

n1

=(1，0，0)，平面PAB的法向量為

n2

=(

3

，1，

2 3

t

)，根據二面角A-PB-D的余弦值為

15

5

，可求t的值，從而可得P的坐標，再利用向量的夾角公式，即可求得EC與平面PAB所成的角．

解答：（I）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD，∵DE?平面PBD
∴AC⊥DE…（6分）
（II）解：分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，則A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-1，0，0)，E(0，0，

t

2

)，P(0，-

3

，t)
由（I）知：平面PBD的法向量為

n1

=(1，0，0)，
令平面PAB的法向量為

n2

=(x，y，z)，則根據

n2 • AB =0 n2 • AP =0

得

-x+ 3 y=0 -x- 3 y+tz=0

∴

n2

=(

3

，1，

2 3

t

)
因為二面角A-PB-D的余弦值為

15

5

，則|cos?

n1

，

n2

＞|=

15

5

，即

3

4+ 12 t2

=

15

5

，∴t=2

3

…（9分）
∴P(0，-

3

，2

3

)
設EC與平面PAB所成的角為θ，
∵

EC

=(-1，0，-

3

)，

n2

=(

3

，1，1)
∴sinθ=|cos?

EC

，

n2

＞|=

2 3

2• 5

=

15

5

…（12分）

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，利用空間向量解決線面角問題，屬于中檔題．