Question

如圖，已知正方形的邊長為，點分別在邊上，，現將△沿線段折起到△位置，使得．

（1）求五棱錐的體積；
（2）求平面與平面的夾角．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由于△沿線段折起到△的過程中，平面平面始終成立.所以平面.又因為，正方形的邊長為，點分別在邊上，.即可求得結論.
（2）依題已建立空間直角坐標系.求出兩個平面的法向量，由法向量的夾角得到平面與平面的夾角.

試題解析：（1）連接，設，由是正方形，，
得是的中點，且，從而有，
所以平面，從而平面平面，     2分
過點作垂直且與相交于點，
則平面            4分
因為正方形的邊長為，，
得到：，
所以，
所以
所以五棱錐的體積；     6分
（2）由（1）知道平面，且，即點是的交點，
如圖以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，         7分

設平面的法向量為，則
，
，
令，則，         9分
設平面的法向量，則，
，
令，則，即，             11分
所以，即平面與平面夾角.         12分