Question

【題目】（本小題滿分分）

如圖，平行四邊形中， ， ， ， 平面， ，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)、．

（Ⅰ）若， ，求證：平面平面．

（Ⅱ）若，試探究在直線上有幾個(gè)點(diǎn)，使得，并說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：（1）要證明平面平面，即證明平面，進(jìn)而轉(zhuǎn)證線線垂直即可；（2）假設(shè)邊上存在使得，則連結(jié)，必有，故問題轉(zhuǎn)化為：在邊上是否存在點(diǎn)，使得．由平面幾何知識(shí)，問題又可轉(zhuǎn)化為：以為直徑的圓與有幾個(gè)交點(diǎn)．

試題解析：

（）證明：當(dāng)， 時(shí)，

∵是平行四邊形， ， ， ， 是中點(diǎn)，

∴， ， ，

∴，

∴．

又∵平面， 平面，

∴．

∵，

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．

（）假設(shè)邊上存在使得，則連結(jié)，必有，故問題轉(zhuǎn)化為：在邊上是否存在點(diǎn)，使得．由平面幾何知識(shí)，問題又可轉(zhuǎn)化為：以為直徑的圓與有幾個(gè)交點(diǎn)．

∵， ，∴以為直徑的圓圓心到直線的距離，半徑為．

易知當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與無交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與有個(gè)交點(diǎn)．

故當(dāng)時(shí)，直線上不存在點(diǎn)，使得．

當(dāng)時(shí)，直線上存在一個(gè)點(diǎn)，使得．

當(dāng)時(shí)，直線上存在個(gè)點(diǎn)，使得．