Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，平面，，平面，且點在上．

（）求證：；

（）求三棱錐的體積；

（）設點在線段上，且滿足，試在線段上確定一點，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當點為線段上靠近點的一個三等分.

【解析】試題分析：（1）先證明平面，得，由平面，得，從而可得平面，由此能證明；（2）在中，過點作于點，則平面，由已知及（）得，，從而可得結果；（3）過點作交于點，過點作交于點，連接，推導出平面，由此能求出當點為線段上靠近點的一個三等分點時，平面．

試題解析：（）證明：由平面，

及得平面，則，

而平面，則，

又，則平面，

又平面，故．

（）在中，過點作于點，則平面．

由已知及（）得，．

故．

（）在中過點作交于點，

在中過點作交于點，連接，

則由得，由平面 平面，

則平面，再由，得平面，

又平面，則平面，

故當點為線段上靠近點的一個三等分點時，平面．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質，以及線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.