Question

（A）4-2矩陣與變換
已知二階矩陣M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，屬于λ₁的一個特征向量是e1=

1 1

，屬于λ₂的一個特征向量是e2=

-1 2

，點A對應的列向量是a=

1 4

．
（Ⅰ）設a=me₁+ne₂，求實數(shù)m，n的值．
（Ⅱ）求點A在M⁵作用下的點的坐標．

（B）4-2極坐標與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標方程為ρsin(θ-

π

3

)=3，曲線C的參數(shù)方程為

x=cosθ y=3sinθ

，設P點是曲線C上的任意一點，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

（A）4-2矩陣與變換
（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：

1 4

=m

1 1

+n

-1 2

，即

1=m-n 4=m+2n

?

m=2 n=1

．
（Ⅱ）二階矩陣M對應的變換是線性變換
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=2

1 1

+25=

2-25 2+26

=

-30 66

所以點A在M⁵作用下的點的坐標（-30，66）．
（B）4-2極坐標與參數(shù)方程
由ρsin(θ-

π

3

)=3，得：ρ(

1

2

sinθ-

3

2

cosθ)=3，∴y-

3

x=6，即：

3

x-y+6=0
又曲線C的參數(shù)方程是

x=cosθ y=3sinθ

，設點P坐標為（cosθ，3sinθ），
則點P到直線l的距離是d=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

( 3 )2+12

=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

2

=

|2 3 cos(θ+ π 3 )+6|

2

≤

|2 3 +6|

2

=

3

+3
所以，P到直線l的距離的最大值為

3

+3．