Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．

（1）若點B的橫坐標為，求tanα的值；
（2）若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合；
（3）若，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式，并指出函數的值域．

Answer 1

（1）﹣
（2）{β|β=，k∈Z}∪{β|β=，k∈Z}
（3）﹣sinα， 值域為：[0，]

（1）由題意可得B（，），根據三角函數的定義得；
（2）同理可得B的坐標，注意兩種情況，然后由三角函數的定義可得；
（3）把弓形轉化為扇形和三角形的面積之差，由導數可得函數的單調性，進而可得值域．
（1）由題意可得B（，），根據三角函數的定義得：tanα==﹣；
（2）若△AOB為等邊三角形，則B（，）或（，）
可得tan∠AOB==或，故∠AOB=，或；
故與角α終邊相同的角β的集合為：{β|β=，k∈Z}∪{β|β=，k∈Z}；
（3）若，則S_扇形=αr²=，而S_△AOB=×1×1×sinα=sinα，
故弓形的面積S=S_扇形﹣S_△AOB=﹣sinα，，
求導數可得S′==（1﹣cosα）＞0，故S在區間上單調遞增，
S（0）=0，S（）=，
故函數的值域為：[0，]