Question

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α為參數），直線l的參數方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t為參數）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過配方即可得到圓心的參數方程，再消去參數即可得到其普通方程．
（Ⅱ）由于直線上的一點P（0，1）也是圓M的圓心的軌跡橢圓

x2

4

+y2=1的短軸的上頂點，據參數方程再設此橢圓上的任意一點的坐標（2cosα，sinα），
根據兩點間的距離公式即可得到弦長|PQ|是關于sinα的二次函數，利用其單調性即可求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵圓M的方程為x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α為參數），
配方得（x-2cosα）²+（y-sinα）²=1，
∴圓M的圓心（x，y）的軌跡C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），
變為

x

2

=cosα，y=sinα，
將上兩式分別平方相加得

x2

4

+y2=1，
∴圓心（x，y）的軌跡C為：焦點在x軸上，長半軸長是2，短半軸長是1的橢圓．
（Ⅱ）直線l的參數方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t為參數），
令t=0，則x=0，y=1，∴（0，1）在直線l上，并且是圓M的圓心的軌跡橢圓

x2

4

+y2=1的短軸的上頂點，
設點P（2cosα，sinα）是直線l與橢圓相交的另一個交點，
則弦長|PQ|的平方|PQ|²=（2cosα-0）²+（sinα-1）²=-3sin²α-2sinα+5
=-3(sinα+

1

3

)2+

16

3

，
∵-1≤sinα≤1，∴當sinα=-

1

3

時，上式的最大值為

16

3

．
即弦長|PQ|的最大值為

4 3

3

．

點評：本題考查了曲線的參數方程化為普通方程及其參數的意義，正確利用二次函數的單調性求最值和理解參數得意義是解題的關鍵．