Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，左右兩個(gè)焦分別為F₁，F(xiàn)₂．過右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

c a = 2 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），知B（0，-

2

），若存在存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′落在橢圓C上，則直線BB′過點(diǎn)B（0，-

2

），且直線l垂直平分線段BB′，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，
左右兩個(gè)焦分別為F₁，F(xiàn)₂．過右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2，
∴

c a = 2 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

2

，c=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），
∴B（0，-

2

），
若存在存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′落在橢圓C上，
則直線BB′過點(diǎn)B（0，-

2

），且BB′⊥l，直線l垂直平分線段BB′，
∴直線BB′的方程為：y+

2

=-x，即x+y+

2

=0，
聯(lián)立

x+y+ 2 =0 x2 4 + y2 2 =1

，解得B（0，-

2

），B′（-

4

3

2

，

2

3

），
∵直線l：y=x+m垂直平分線段BB′，
∴直線l：y=x+m過BB′的中點(diǎn)（-

2

3

2

，-

2

3

），
∴m=-

2

3

+

2 2

3

=

2

3

．
∴直線l的方程為y=x+

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的方程是否存在，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．