Question

【題目】已知為橢圓上的一點，F為橢圓的右焦點，且垂直于x軸，不過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，線段的中點M在直線上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當的面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意計算得到，，得到橢圓方程.

（2）設，，設直線，代入橢圓的方程得到，，計算，設，求導得到最值.

（1）設橢圓的半焦距為，由題知，解得，.

所以橢圓C的標準方程為.

（2）因為不過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，線段的中點M在直線上，所以直線的斜率存在且不為0.

設，，則.

設直線，代入橢圓的方程整理得（*），

則，，故.

又，所以.

將k的值代入（*）式即得，故，，

且，即或.

，

點到直線的距離為，所以.

令，或，求導得.

令，解得.

當時，，函數為增函數；當，時，，函數為減函數，所以當時，的面積取得最大值.

綜上，當的面積取得最大值時，直線的方程為，即.