Question

【題目】某總公司在A，B兩地分別有甲、乙兩個下屬公司同種新能源產品（這兩個公司每天都固定生產50件產品），所生產的產品均在本地銷售.產品進人市場之前需要對產品進行性能檢測，得分低于80分的定為次品，需要返廠再加工；得分不低于80分的定為正品，可以進人市場.檢測員統計了甲、乙兩個下屬公司100天的生產情況及每件產品盈利虧損情況，數據如表所示：

表1

甲公司	得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
	件數	10	10	40	40	50
	天數	10	10	10	10	80

表2

甲公司	得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
	件數	10	5	40	45	50
	天數	20	10	20	10	70

表3

	每件正品	每件次品
甲公司	盈2萬元	虧3萬元
乙公司	盈3萬元	虧3.5萬元

（1）分別求甲、乙兩個公司這100天生產的產品的正品率（用百分數表示）.

（2）試問甲、乙兩個公司這100天生產的產品的總利潤哪個更大？說明理由.

（3）若以甲公司這100天中每天產品利潤總和對應的頻率作為概率，從甲公司這100天隨機抽取1天，記這天產品利潤總和為X，求X的分布列及其數學期望.

Answer 1

【答案】（1）甲公司這100天生產的產品的正品率為：88%，乙公司這100天生產的產品的正率為：79%；（2）乙公司這100天生產的產品的總利潤更大；詳見解析；（3）分布列見詳解，數學期望為萬元.

【解析】

（1）計算正品數與產品總數的比值即可；

（2）分別計算利潤，比較即可；

（3）計算X（單位：萬元）的可能取值為100，50，﹣150的概率，由期望的定義可得答案.

（1）甲公司這100天生產的產品的正品率為：88%，

乙公司這100天生產的產品的正率為：79%.

（2）乙公司這100天生產的產品的總利潤更大

理由如下：

甲公司這100天生產的產品的總利潤為（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（萬元），

乙公司這100天生產的產品的總利潤為（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（萬元），

因為7000萬＜8175萬，所以乙公司這100天生產的產品的總利潤更大，

（3）X（單位：萬元）的可能取值為100，50，﹣150，

P（X＝100）0.8.

P（X＝50）0.1，

P（X＝150）0.1，

則X的分布列為

X	100	50	﹣150
P	0.8	0.1	0.1

故EX＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（萬元），