Question

直線L的傾斜角為45°，在y軸上的截距是2，拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P₀（2，y₀）到其焦點(diǎn)F的距離為3，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M到直線L的距離的最小值．

Answer 1

∵直線L的傾斜角為45°，在y軸上的截距是2，
∴L的方程：y=x+2，即x-y+2=0…（3分）
∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P₀（2，y₀）到其焦點(diǎn)F的距離為3，
∴由定義知：2+

P

2

=3，解得P=2，
∴拋物線的方程是：y²=4x．…（6分）
設(shè)M（x，y），則M到直線L的距離為
d=

|x-y+2|

2

=

| y2 4 -y+2|

2

=

|y2-4y+8|

4 2

=

(y-2)2+4

4 2

≥

2

2

，…（10分）
當(dāng)y=2時(shí)，“=”成立，此時(shí)M（1，2），
∴動(dòng)點(diǎn)M到直線L的距離的最小值是

2

2

．…（12分）