Question

設(shè)實數(shù)a，b滿足2a+b=9．
（i）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范圍；
（ii）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（i）由題意可得|9-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化為|a|＜1，由此解得a的范圍．
（ii）因為a，b＞0，2a+b=9，再根據(jù)z=a²b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：（i）由2a+b=9得9-b=2a，即|9-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化為3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范圍-1＜a＜1．
（ii）因為a，b＞0，2a+b=9，
所以z=a2b=a•a•b≤(

a+a+b

3

)3=(

2a+b

3

)3=33=27，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，等號成立．
故z的最大值為27．…（7分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．