Question

【題目】給定橢圓C： + =1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為 ，且經過點（0，1）．
（1）求實數a，b的值；
（2）若過點P（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C有且只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2 ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：記橢圓C的半焦距為c．

由題意，得b=1， = ，c2=a2+b2，

解得a=2，b=1．…（4分）

（2）解：由（1）知，橢圓C的方程為 +y2=1，圓C1的方程為x2+y2=5．

顯然直線l的斜率存在．

設直線l的方程為y=kx+m，即kx﹣y+m=0．

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，

故方程組 （*）有且只有一組解．

由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

從而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（ 4m2﹣4）=0．

化簡，得m2=1+4k2．①

因為直線l被圓x2+y2=5所截得的弦長為2 ，

所以圓心到直線l的距離d= = ．

即 = ． ②

由①②，解得k2=2，m2=9．

因為m＞0，所以m=3

【解析】（1）記橢圓C的半焦距為c．由題意，得b=1， = ，由此能求出a，b．（2）由（1）知，橢圓C的方程為 +y2=1，圓C1的方程為x2+y2=5．設直線l的方程為y=kx+m，由 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判別式、弦長公式、圓心到直線的距離，結合知識點能求出m．