Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線和左頂點(diǎn)的距離相等，經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)是直線上在橢圓外的一點(diǎn)，且，證明：點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線和左頂點(diǎn)的距離相等列方程組可解得;

(2)當(dāng)直線軸時(shí),將用表示后,代入不成立, 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理以及，，,代入可解得.

（1）依題意可列方程組: ,所以,

所以,所以,又,所以,解得,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

(2)證明:設(shè),

當(dāng)直線軸，則,，則，

因?yàn)?/span>在橢圓外,所以與同號(hào),所以,所以,

又，所以不成立，故直線與軸不垂直.

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)，

設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立消去并整理得，

，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

同理可得:，.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以、同號(hào)，

所以

，

由得，

，

所以,

所以,所以,

所以，所以點(diǎn)在定直線上.