Question

【題目】已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點.

（1）求證：底面；

（2）求直線與平面所成的角的值；

（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知中四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點O，根據平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結合線面垂直的判定定理，我們易得到結論；
（2）以O為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案；

（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.

（1）證明：因為ABCD為菱形，
所以O為AC，BD的中點
因為PB＝PD，PA＝PC，
所以PO⊥BD，PO⊥AC
所以PO⊥底面ABCD；
（2）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD，
建立如圖所示空間直角坐標系
又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2
得，
所以

則，
設平面PCD的法向量
有，所以，令
得，
，
直線與平面所成的角的值為；

（3）設平面的法向量,

因為
有，所以，令
得，

，
由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，

.