Question

如圖，三棱柱側棱與底面垂直，且所有棱長都為4，D為CC1中點．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：取BC中點O，連AO，利用正三角形三線合一，及面面垂直的性質可得AO⊥平面BCB1C1，取B1C1中點為O1，以O為原點，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

（1）求出AB1的方向向量利用向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1BD；

（2）分別求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一個法向量代入向量夾角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值大小．也可用傳統幾何方法解決．

試題解析：法一：（向量法）

（1）取中點，連結．取中點，

故：以為原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系. 2分

則： 3分

4分

，． 6分

平面． 7分

（2）設平面的法向量為．．

令得為平面的一個法向量． 10分

由（1）可知：為平面的法向量． 11分

． 13分

二面角是銳角 二面角的余弦值為為． 14分

法二：（傳統幾何法）

（1）取BC中點O，連結AO和，

2分

3分

在正方形中，分別為的中點，

由正方形性質知：， 4分

5分

又在正方形中，， 6分

平面． 7分

（2）設AB1與A1B交于點，在平面1BD中，作于，連結，

由（1）得．

為二面角的平面角． 10分

在中，由等面積法可求得， 12分

又 ， 13分

． 所以二面角的余弦值為． 14分

考點：1．二面角的平面角及求法；2．直線與平面垂直的判定．