Question

給出下列四個命題：
①如果命題“?p”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題；
②已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=1，|

b

|=4，且

a

•

b

=2，則

a

與

b

的夾角為

π

6

；
③若函數f（x+1）是奇函數，f（x-1）是偶函數，且f（0）=2，則f（2012）=2；
④已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數，函數g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象有且只有一個公共點，則實數a的取值范圍是（1，+∞）．
其中正確命題的序號為

①

．

Answer 1

分析：根據復合命題真假性的真值表，可判斷出命題“p”為假命題，進而命題“q”是真命題，可判斷（1）；
根據向量夾角公式，結合已知求出兩個向量的夾角，可判斷（2）；
根據已知，結合函數奇偶性的定義，分析出函數的周期性，進而求出f（2012）的值，可判斷（3）；
根據函數奇偶性的定義，求出k值，進而根據函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象有且只有一個公共點，求出實數a的取值范圍，可判斷（4）．

解答：解：若命題“?p”與命題“p或q”都是真命題，則命題“p”為假命題，命題“q”是真命題，故①正確；
若|

a

|=1，|

b

|=4，且

a

•

b

=2，則

a

與

b

的夾角θ滿足，cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

，則

a

與

b

的夾角為

π

3

，故②錯誤；
若函數f（x+1）是奇函數，f（x+1）=-f（-x+1），若f（x-1）是偶函數，則f（x-1）=f（-x-1）
故f（x+4）=f（x+3+1）=-f[-（x+3）+1]=-f（-x-2）=-f[-（x+1）-1]=-f（x+1-1）=-f（x）
則f（x+8）=-f（x+4）=f（x），即函數f（x）的周期為8，由f（0）=2，則f（2012）=f（4）=-2，故③錯誤；
由f（x）為偶函數，故log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx對所有x∈R都成立，即（2k+1）x=0對所有x∈R都成立，故k=-

1

2

．
由方程log4（4x+1）-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)（*）
可變形為

4x+1 2x =a•2x- 4 3 a，① a•2x- 4 3 a＞0，②

，由②得

a＞0 2x＞ 4 3

或

a＜0 2x＜ 4 3

，
令2^x=t，則

a＞0 t＞ 4 3

，或

a＜0 0＜t＜ 4 3

由①得（a-1）（2x）2-

4

3

a•2x-1=0，設h（t）=（a-1）t2-

4

3

at-1
∴當a＞0時，（a-1）h（

4

3

）＜0⇒a＞1，
當a＜0時，h（0）=-1＜0，h（

4

3

）＞0⇒a不存在，
當△=（-

4

3

a）2+4（a-1）=0時，a=

3

4

或a=-3，
若a=

3

4

，則t=-2，不合題意，舍去，若a=-3，則t=

1

2

，滿足題意，
∴當a=-3或a＞1時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，故④錯誤
故答案為：①

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性與周期性，復合命題，向量夾角公式等知識點，其中（3）（4）是函數圖象和性質的綜合應用，難度非常大．