Question

【題目】選修4-1：幾何證明選講

如圖所示，已知AP是⊙O的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線(xiàn)，與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．

（I）證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；

（II）求∠OAM＋∠APM的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）90°.

【解析】試題分析：（1）證明四點(diǎn)共圓，一般利用對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行證明：根據(jù)相切及垂徑定理得OP⊥AP及OM⊥BC，從而得∠OPA＋∠OMA＝180°. （2）根據(jù)四點(diǎn)共圓得同弦所對(duì)角相等：∠OAM＝∠OPM，因此

∠OPM＋∠APM＝90°，

試題解析：（1）證明 連接OP，OM，因?yàn)?/span>AP與⊙O相切于點(diǎn)P，所以OP⊥AP.

因?yàn)?/span>M是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以OM⊥BC，

于是∠OPA＋∠OMA＝180°.

由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓.

（2）解 由（1）得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，

所以∠OAM＝∠OPM，

由（1）得OP⊥AP，因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部，

所以∠OPM＋∠APM＝90°，

所以∠OAM＋∠APM＝90°.