Question

（理科）已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）當(dāng)t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．分類討論：當(dāng)t＞0時，f'（x）＞0的解集為(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)；當(dāng)t＜0時，f'（x）＜0的解集為(

t

2

，-t)，故可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間；（2）由（1）可知，當(dāng)t＞0時，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)遞減，(

t

2

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．進(jìn)而分類討論：當(dāng)

t

2

≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；當(dāng)0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)遞減，在(

t

2

，1)內(nèi)單調(diào)遞增．利用零點(diǎn)存在定理可證對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

解答：（1）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．
1°當(dāng)t＞0時，f'（x）＞0的解集為(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-t，

t

2

)．
2°當(dāng)t＜0時，f'（x）＜0的解集為(

t

2

，-t)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

t

2

，-t)．
（2）證明：由（1）可知，當(dāng)t＞0時，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)遞減，(

t

2

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
1°當(dāng)

t

2

≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．
2°當(dāng)0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)遞減，在(

t

2

，1)內(nèi)單調(diào)遞增．
若t∈(0，1]，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，f（1）=-6x²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0
∴f（x）在(

t

2

，1)內(nèi)存在零點(diǎn)．
若t∈(1，2)，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1＜0，f（0）=t-1＞0
∴f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)存在零點(diǎn)．
∴對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確分類是解題的關(guān)鍵．