Question

（2012•甘肅一模）（理科）已知函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求實數m的最小值；
（2）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）_min，利用導數研究函數的單調性，可以得到f（x）在（-1，0）上為減函數，f（x）在（0，+∞）為增函數，即f（x）的最小值為f（0）=1，所以m的最小值為1
（2）原題設即方程1+x-2ln（1+x）=a在區間[0，2]上恰有兩個相異實根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），這時只需解出h（x）在[0，2]上的值域，就可以得出a的取值范圍．

解答：解：（1）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時，m≥f（x）_min．
求導得f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

，定義域為（-1，+∞），
∵當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，∴函數f（x）在區間（-1，0）上是減函數；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≥1．故實數m的最小值為1．
（2）關于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，即方程1+x-2ln（1+x）=a在區間[0，2]上恰有兩個相異實根．
設h（x）=（1+x）-2ln（1+x），則h′（x）=

x-1

x+1

由h′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）；由h′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴h（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
∵h（　　）＞h（2），且h（x）在[0，2]上連續
∴方程1+x-2ln（1+x）=a在區間[0，2]上恰有兩個相異實根時，h（1）＜a≤h（2）
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴實數a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，本題比較新穎的地方是，求解（2）中的a的取值范圍，經過等價變換，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，從而解出a的取值范圍．