Question

函數f(x)是定義在R上的單調函數且為奇函數，又有f(1)=-2.

(Ⅰ)求證：f(x)是R上的單調遞減函數；

(Ⅱ)解不等式f(2^x)+f(2^x-4^x-1)＞0.

Answer 1

解：(1)∵f(x)是奇函數,∴f(-1)=-f(1)=2,而f(1)=-2,

∴f(x)不是R上的增函數,又f(x)是R上的單調函數,

∴f(x)是R上的單調遞減函數

(Ⅱ)∵f(2^x)＞-f(2^x-4^x-1)=f(-2^x+4^x+1),

由(Ⅰ)得：2^x＜-2^x+4^x+1,∴(2^x)²-2×2^x+1＞0.∴(2^x-1)²＞0,

∴2^x≠1,x≠0,∴原不等式的解集為：(-∞,0)∪(0,+∞)  。