Question

設函數，，其中為實數.
（1）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；
（2）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論.

Answer 1

（1）
（2）當或時，的零點個數為1；當時，的零點個數為2.

（1）∵，考慮到函數的定義域為，故，進而解得
，即在上是單調減函數. 同理，在上是單調增函數.
由于在是單調減函數，故，從而，即.
令，得，當時，；當時，，
又在上有最小值，所以，即，
綜上所述，.
（2）當時，必是單調增函數；當時，令，
解得，即，
∵在上是單調函數，類似（1）有，即，
綜合上述兩種情況，有.
①當時，由以及，得存在唯一的零點；
②當時，由于，，且函數在上的圖象不間斷，∴在是單調增函數，∴在上存在零點. 另外，當時，，則在上是單調增函數，只有一個零點.
③當時，令，解得.
當時，；當時，. ∴是的最大值點，且最大值為.
1)當，即時，有一個零點.
2)當，即時，有兩個零點. 實際上，對于，由于，，且函數在上的圖象不間斷，∴在上存在零點.
另外，當時，，故在上是單調增函數，∴在上有一個零點.
下面需要考慮在上的情況，先證，
為此，我們要證明：當時，，設，則，再設，則.
當時，，∴在上是單調增函數，
故當時，，從而在上是單調增函數，進而當
時，，即當時，.
當，即時，，又，且函數
在的圖象不間斷，∴在上存在零點.
又當時，，故在是單調減函數，所以，在上只有一個零點.
綜上所述，當或時，的零點個數為1；當時，的零點個數為2.
【考點定位】本小題主要考查導數的運算及用導數研究函數的性質，考查函數、方程及不等式的相互轉化，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題及推理論證能力.