Question

已知函數，且在處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）證明：當時，恒有；

（3）證明：若，，且，則.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據導數的幾何意義求方程；（2）構造新函數用導數法求解；

試題解析：（1）∵，∴切線斜率，

∴在處的切線方程為，

即.           （4分）

（2）令，

∵，

∴當時，，時，，∴，

故，即.            （8分）

（3）先求在處的切線方程，由（1）得，

故在處的切線方程為，

即，  （10分）

下面證明，

令，

∵

，

∴時，，時，，∴，

∴，       （12分）

∵，∴，

，

∴.         （14分）

考點：導數法求函數的單調性，導數的幾何意義，不等式的證明.