Question

（本題滿分12分）如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.

（1）求的長； （2）求cos< >的值；  （3）求證：A₁B⊥C₁M.

Answer 1

（1）| |=.
（2）cos<，>=.
（3）計算·=0，推出A₁B⊥C₁M。

試題分析：如圖，建立空間直角坐標系O—xyz.   

（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.。。4分
（2）依題意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）
∴=(1，－1，2)，=(0，1，2，)，·=3，||=||=
∴cos<，>=.。。。。。。。8分
（3）證：依題意，得C₁（0，0，2）、M（，2），=(－1，1，-2)，={,0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M..。。。。。12分
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明，距離及角的計算問題是高考中的必考題，通過建立適當的坐標系，可使問題簡化，向量的坐標運算要準確。