Question

【題目】在如圖所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面AA1B1B和面AA1C1C都是邊長為1的正方形且互相垂直，D為AA1的中點，E為BC1的中點．
（Ⅰ）證明：DE∥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求平面C1BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：如圖，過E作EF∥BC交BC于F，

∵E為BC1的中點，∴EF為△BB1C1的中位線，則EF= ，

又D為AA1中點，∴D ，

∵四邊形AA1B1B為正方形，∴EF∥DA1，且EF=DA1，

∴四邊形DA1FE為平行四邊形，則DE∥A1F，

∵DE平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，

∴DE∥平面A1B1C1；

（Ⅱ）解：∵AA1C1C是正方形，∴AC⊥AA1，

又平面AA1B1B⊥平面AA1C1C，且平面AA1B1B⊥平面AA1C1C，

∴AC⊥平面AA1B1B，則AC⊥BC．

分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則C（0，0，1），D（0， ，0），B（﹣1，0，0），C1（0，1，1），

， ， ．

設平面BCD的一個法向量為 ，

由 ，令y=2，得 ；

設平面C1BD的一個法向量為 ，

由 ，令y=2，得 ．

∴cos＜ ＞= ．

∴平面C1BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）過E作EF∥BC交BC于F，可得EF為△BB1C1的中位線，結合已知可得EF∥DA1，且EF=DA1，則四邊形DA1FE為平行四邊形，得DE∥A1F，由線面平行的判定可得DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）由題意可得AC⊥平面AA1B1B，則AC⊥BC．分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面C1BD和平面CBD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面C1BD和平面CBD所成的角（銳角）的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．