Question

（2006•朝陽區一模）在各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和S_n滿足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）證明{a_n}是等差數列，并求這個數列的通項公式及前n項和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，設點列M_n（x_n，y_n）滿足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且點列M_n在直線C上，M_n中最高點為M_k，若稱直線C與x軸、直線x=a，x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區間[a，b]上的面積，試求直線C在區間[x₃，x_k]上的面積．

Answer 1

分析：（I）由已知中2S_n+1=a_n（2a_n+1），可得2S_n=2a_n²+a_n-1，且2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，n∈N^*．兩式相減后可得a_n+1-a_n=d=

1

2

，即{a_n}是等差數列，求出首項后，易得數列的通項公式及前n項和的公式；
（Ⅱ）由a_n=nx_n，S_n=n²y_n，結合（I）中結論求出x_n，y_n，進而求出點列M_n上點的坐標及所在直線的方程，進而求出所求平面區域的面積．

解答：解：（I）∵2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
∴2S_n=2a_n²+a_n-1，n∈N^*．…①
故2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，n∈N^*．…②
②-①得：2a_n+1=2a_n+1²-2a_n²+a_n+1-a_n
結合a_n＞0，得a_n+1-a_n=d=

1

2

∴{a_n}是等差數列…（4分）
又n=1時，2a₁+1=a₁（2a₁+1），解得a₁=1或a₁=-

1

2

（舍去）．
又d=

1

2

，故a_n=

n+1

2

，
∴S_n=

1

4

n2+

3

4

n…（7分）
（II）∵a_n=nx_n，S_n=n²y_n，
∴x_n=

n+1

2n

，y_n=

n+3

4n

即得點M_n（

n+1

2n

，

n+3

4n

）
設x=

n+1

2n

，y=

n+3

4n

，消去n，得3x-2y-1=0
即直線C的方程為3x-2y-1=0…（11分）
又y=

n+3

4n

是在n為正整數時為減函數
∴M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1）．又M₃的坐標為（

2

3

，

1

2

）
∴C與x軸、直線x=

2

3

，x=1圍成的圖形為直角梯形，從而直線C在[

2

3

，1]上的面積為
S=

1

2

×（

1

2

+1）×（1-

2

3

）=

1

4

  …（14分）

點評：本題是數列與解析幾何的綜合，數列遞推式求通項及前n項公式，是數列的綜合應用，難度較大．