Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E為線段PD上一點，記 =λ． 當λ= 時，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值為 ．

（1）求AB的長；
（2）當 時，求異面直線BP與直線CE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，∴AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立空間直角坐標系Axyz，

則D（0，2，0），E（0，1， ）， =（0，1， ）．

設B（m，0，0）（m＞0），則C（m，2，0）， =（m，2，0）．

設 =（x，y，z）為平面ACE的法向量，

則 ，取z=2，得 =（ ，﹣1，2）．

又 =（1，0，0）為平面DAE的法向量，

∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值為 ，

∴由題設知|cos＜ ＞|= ，即 ，

解得m=1，即AB=1

（2）解： ，

∴ ，

，

，

∴異面直線BP與直線CE所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為坐標原點，AB，AD，AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系Axyz，利用向量法能求出AB．（2）分別求出 ， ，利用向量法能求出異面直線BP與直線CE所成角的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．