Question

已知橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，且圓C：過A，F₂兩點．
（1）求橢圓標準的方程；
（2）設直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當β-α=時，證明：點P在一定圓上；
（3）設橢圓的上頂點為Q，證明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓C：確定A，F₂兩點的坐標，即可求得橢圓方程；
（2）設點P（x，y），因為F₁（-，0），F₂（，0），則可求，，利用β-α=，及差角的正切公式，即可證得結論；
（3）利用兩點間的距離公式，計算|PQ|²=12-4y，計算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到結論．
解答：（1）解：圓與x軸交點坐標為，，
故，所以b=3，
∴橢圓方程是：．
（2）證明：設點P（x，y），因為F₁（-，0），F₂（，0），則=tanβ=，=tanα=，
因為β-α=，所以tan（β-α）=-．
因為tan（β-α）==，所以=-．
化簡得x²+y²-2y=3．
所以點P在定圓x²+y²-2y=3上．
（3）證明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+）²+y²=2y+6+2x，|PF₂|²=（x-）²+y²=2y+6-2x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2=4，
因為3x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4，
∵β=α+＞，又點P在定圓x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
從而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查差角的正切公式，考查距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．