Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及函數f（x）的零點的集合．
（2）在給定的坐標系內，用五點作圖法畫出函數f（x）在一個周期內的圖象．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式為y=sin（2x+

π

3

），可得函數的周期；令2x+

π

3

=kπ，求得x的值，可得函數零點的集合．
（2）用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖．

解答： 解：（1）函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
故函數的周期為T=

2π

2

=π．
令2x+

π

3

=kπ，求得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，故函數零點的集合為{x|x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z }． 
（2）列表：

2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
f（x）	0	1	0	-1	0

描點連線，如圖所示：

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，屬于基礎題．