Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（0）=-4，f（x+1）為偶函數(shù)，且x=-2是函數(shù)f（x）-4的一個(gè)零點(diǎn)．又g（x）=mx+4（m＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在x∈（1，5）上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-|g（x）|，求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（0）求出c的值，由f（x+1）為偶函數(shù)，且x=-2是函數(shù)f（x）-4的一個(gè)零點(diǎn)，求出a、b的值，即得f（x）；
（Ⅱ）方程x²-2x-4=mx+4在x∈（1，5）上有解，轉(zhuǎn)化為求m=x-2-

8

x

在（1，5）上的取值范圍；
（Ⅲ）求出h（x）的表達(dá)式，討論m的取值，對(duì)應(yīng)函數(shù)h（x）的單調(diào)性是什么，寫出對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=-4，∴c=-4；（1分）
∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
即f（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b+c；
又∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴2a+b=0；①（2分）
∵x=-2是函數(shù)f（x）-4的一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（-2）-4=0，∴4a-2b-8=0；②
由①②解得a=1，b=-2；
∴f（x）=x²-2x-4；（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）在x∈（1，5）上有解，
即x²-2x-4=mx+4在x∈（1，5）上有解；
∴m=x-2-

8

x

；
∵m=x-2-

8

x

在（1，5）上單調(diào)遞增，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-9，

7

5

)；（8分）
（Ⅲ）h（x）=x²-2x-4-|mx+4|，
即h（x）=

x2-(m+2)x-8， x≥- 4 m x2+(m-2)x，   x＜- 4 m

；（9分）
①當(dāng)x≥-

4

m

時(shí)，h（x）=x²-（m+2）x-8的對(duì)稱軸為x=

m+2

2

，
∵m＞0，∴

m+2

2

＞-

4

m

總成立；
∴h（x）在(-

4

m

，

m+2

2

)上單調(diào)遞減，在(

m+2

2

，+∞)上單調(diào)遞增；（11分）
②當(dāng)x＜-

4

m

時(shí)，h（x）=x²+（m-2）x的對(duì)稱軸為x=

2-m

2

，
若

2-m

2

≥-

4

m

，即0＜m≤4，h（x）在(-∞，-

4

m

)上單調(diào)遞減；（13分）
若

2-m

2

＜-

4

m

，即m＞4，h（x）在(-∞，

2-m

2

)上單調(diào)遞減，在(

2-m

2

，-

4

m

)上單調(diào)遞增；（15分）
綜上，當(dāng)0＜m≤4時(shí)，h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，

m+2

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

m+2

2

，+∞)；
當(dāng)m＞4時(shí)，h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，

2-m

2

)和(-

4

m

，

m+2

2

)；單調(diào)遞增區(qū)間為(

2-m

2

，-

4

m

)和(

m+2

2

，+∞)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題，解題時(shí)應(yīng)用分類討論思想，是較難的題目．