Question

（2012•溫州二模）已知函數f（x）=

x•ex

x-a

（a＜0）．
（I）當a=-4時，試判斷函數f（x）在（-4，+∞）上的單調性；
（II）若函數f（x）在x=t處取到極小值，
（i）求實數t的取值集合T； 
（ii）問是否存在整數m，使得m≤

t2

t+1

f（t）≤m+1對于任意t∈T恒成立．若存在，求出整數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）求導函數，當a=-4時，f′(x)=

(x+2)2

(x+4)2

ex≥0對x∈（-4，+∞）恒成立，從而可得結論；
（II）（i）根據函數f（x）在x=t處取到極小值，a＜0，可得a＜-4，由a=

t2

t+1

＜-4得t＜-1，根據t=g(a)=

a+ a2+4a

2

，可得g（a）在a＜-4時遞減，由此可求實數t的取值集合； 
（ii）設h（t）=

t2

t+1

f（t）=

t2

t+1

×（t+1）e^t=t²e^t，可得h（t）在（-2．-1）上遞減，從而可得結論．

解答：解：（I）求導函數可得f′(x)=

x2-ax-a

(x-a)2

ex
當a=-4時，f′(x)=

(x+2)2

(x+4)2

ex≥0對x∈（-4，+∞）恒成立
∴函數f（x）在（-4，+∞）上為增函數；
（II）（i）∵函數f（x）在x=t處取到極小值，
∴t²-at-a=0
∴a²+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由a=

t2

t+1

＜-4得t＜-1
∵函數f（x）在x=t處取到極小值
∴t=g(a)=

a+ a2+4a

2

∴g′(a)=

1

2

(1+

a+2

a2+4a

)
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4時遞減
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴實數t的取值集合T=（-2，-1）； 
（ii）設h（t）=

t2

t+1

f（t）=

t2

t+1

×（t+1）e^t=t²e^t，
∴h′（t）=t（t+2）e^t，
∴當-2＜t＜-1時，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上遞減
∴0≤

1

e

≤h(t)≤

4

ee

≤1
∴存在m=0，使得m≤

t2

t+1

f（t）≤m+1對于任意t∈T恒成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的極值，正確求導是關鍵．