Question

【題目】某班級有60名學生，學號分別為1～60，其中男生35人，女生25人．為了了解學生的體質情況，甲、乙兩人對全班最近一次體育測試的成績分別進行了隨機抽樣．其中一人用的是系統抽樣，另一人用的是分層抽樣，他們得到各12人的樣本數據如下所示，并規定體育成績大于或等于80人為優秀．

甲抽取的樣本數據：

學號	4	9	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59
性別	男	女	男	男	女	男	女	男	女	女	男	男
體育成績	90	80	75	80	83	85	75	80	70	80	83	70

女抽取的樣本數據：

學號	1	8	10	20	23	28	33	35	43	48	52	57
性別	男	男	男	男	男	男	男	女	女	女	女	女
體育成績	95	85	85	80	70	80	80	65	70	60	70	80

（Ⅰ）在乙抽取的樣本中任取4人，記這4人中體育成績優秀的學生人數為，求的分布列和數學期望；

（Ⅱ）請你根據乙抽取的樣本數據，判斷是否有95%的把握認為體育成績是否為優秀和性別有關；

（Ⅲ）判斷甲、乙各用的何種抽樣方法，并根據（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優，說明理由．

附：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析，（Ⅱ）有；（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣．采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優．

【解析】

（Ⅰ）依題意可知隨機變量服從超幾何分布，列出分布列，求出期望；

（Ⅱ）列出列聯表，計算出卡方，即可判斷；

（Ⅲ）根據數據特征，選擇合適的抽樣方法；

解：（Ⅰ）在乙抽取的樣本中，體育成績優秀的學生人數為7．

的可能取值為0，1，2，3，4．

，，

分布列為

	0	1	2	3	4

．

（Ⅱ）由乙抽取的樣本數據，得列聯表如下：

	優秀	非優秀	合計
男	6	1	7
女	1	4	5
合計	7	5	12

，

所以有95%的把握認為體育成績是否為優秀與性別有關．

（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣．

由（Ⅱ）的結論知，體育成績是否為優秀與性別有關，并且從樣本數據能看出體育成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優．