Question

九連環(huán)是我國(guó)的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮．按照某種規(guī)則解開九連環(huán)，至少需要移動(dòng)圓環(huán)a₉次．我們不妨考慮n個(gè)圓環(huán)的情況，用a_n表示解下n個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，用b_n表示前（n-1）個(gè)圓環(huán)都已經(jīng)解下后，再解第n個(gè)圓環(huán)所需的次數(shù)，按照某種規(guī)則可得：a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-2+1+b_n-1，b₁=1，b_n=2b_n-1+1．
（1）求b_n的表達(dá)式；
（2）求a₉的值，并求出a_n的表達(dá)式；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

分析：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，可得數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列，即可得出；
（2）利用（1）及已知可得：an=an-2+1+bn-1=an-2+2n-1，遞推下去即可得出a₉．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a2+2n-1+2n-3+…+23=2^n-1+2^n-3+…+2³+2，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3=…=a1+2n-1+2n-3+…+22=2^n-1+2^n-3+…+2²+1，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（3）利用放縮法可得：當(dāng)n∈N^*時(shí)，

1

an

≤

3

2

1

2n-1

＜

3

2

×

1

3×2n-2

=

1

2n-1

，即可得出．

解答：解：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴數(shù)列{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn+1=2×2n-1=2n，得bn=2n-1．
（2）由已知an=an-2+1+bn-1=an-2+2n-1，
∴a9=a7+28=a5+28+26=a3+2⁸+2⁶+2⁴=a1+28+26+24+22=341．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a2+2n-1+2n-3+…+23
=2^n-1+2^n-3+…+2³+2
=

2×(2n-1)

22-1

=

1

3

(2n+1-2)．
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a1+2n-1+2n-3+…+22
=2^n-1+2^n-3+…+2²+1
=

2n+1-1

22-1

=

1

3

(2n+1-1)．
綜上所述：an=

1 3 (2n+1-2)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 1 3 (2n+1-1)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

．
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

an

=

3

2

•

1

2n-1

，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

an

=

3

2

•

1

2n- 1 2

＜

3

2

•

1

2n-1

．
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，

1

an

≤

3

2

1

2n-1

＜

3

2

×

1

3×2n-2

=

1

2n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2(1-

1

2n

)＜2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分類討論思想方法、變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等是解題的關(guān)鍵．