Question

九連環是我國的一種古老的智力游戲，它環環相扣，趣味無窮．按照某種規則解開九連環，至少需要移動圓環a₉次．我們不妨考慮n個圓環的情況，用a_n表示解下n個圓環所需的最少移動次數，用b_n表示前（n-1）個圓環都已經解下后，再解第n個圓環所需的次數，按照某種規則可得：a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-2+1+b_n-1，b₁=1，b_n=2b_n-1+1．
（1）求b_n的表達式；
（2）求a₉的值，并求出a_n的表達式；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，可得數列{b_n+1}是等比數列，即可得出；
（2）利用（1）及已知可得：，遞推下去即可得出a₉．
當n是偶數時，
=…==2^n-1+2^n-3+…+2³+2，
當n是奇數時，=…==2^n-1+2^n-3+…+2²+1，再利用等比數列的前n項和公式即可得出；
（3）利用放縮法可得：當n∈N^*時，=，即可得出．
解答：解：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴數列{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴，得．
（2）由已知，
∴+2⁸+2⁶+2⁴==341．
當n是偶數時，
=…=
=2^n-1+2^n-3+…+2³+2
==．
當n是奇數時，
=…=
=2^n-1+2^n-3+…+2²+1
=．
綜上所述：．
（3）當n為偶數時，，當n為奇數時，．
∴當n∈N^*時，=，
∴…+=．
點評：熟練掌握分類討論思想方法、變形利用等比數列的通項公式、前n項和公式等是解題的關鍵．