Question

【題目】某校高一學生共有500人，為了了解學生的歷史學習情況，隨機抽取了50名學生，對他們一年來4次考試的歷史平均成績進行統計，得到頻率分布直方圖如圖所示，后三組頻數成等比數列．
（1）求第五、六組的頻數，補全頻率分布直方圖；
（2）若每組數據用該組區間中點值（例如區間[70，80）的中點值是
75作為代表，試估計該校高一學生歷史成績的平均分；
（3）估計該校高一學生歷史成績在70～100分范圍內的人數．

Answer 1

【答案】解：（1）設第五、六組的頻數分別為x，y
由題設得，
第四組的頻數是0.024×10×50=12
則x2=12y
又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，
y=3　
補全頻率分布直方圖
（2）該校高一學生歷史成績的平均分
=(45x0.012+55x0.016+65x0.03+75x0.024+95x0.006)=67.6
（3）該校高一學生歷史成績在70～100分范圍內的人數：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210

【解析】（1）利用頻率分布直方圖中利用縱坐標乘以組距求出第四組的頻率，利用頻率乘以樣本容量求出頻數，利用等比數列的中項列出方程求出第五、六組的頻數．
（2）利用各個小矩形的中點乘以各個矩形的面積求出高一學生歷史成績在70～100分范圍內的人數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解用樣本的數字特征估計總體的數字特征的相關知識，掌握用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差．在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的．