Question

【題目】函數f（x）=x2﹣mx（m＞0）在區間[0，2]上的最小值記為g（m）
（1）若0＜m≤4，求函數g（m）的解析式；
（2）定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函數h（x）為偶函數，且當x＞0時，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）= ．

當0＜m＜4時， ，∴函數f（x）在 上時單調遞減，在 上單調遞增．

∴當x= 時，函數f（x）取得最小值， =﹣ ．

當m=4時， =2，函數f（x）在[0，2]內單調遞減，∴當x= =2時，函數f（x）取得最小值， =﹣ =﹣1．

綜上可得：g（m）=﹣ ．

（2）解：由題意可得：當x＞0時，h（x）=g（x）= ，∵h（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數，

∴h（x）= ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

∴|t|＜4，

解得﹣4＜t＜4，且t≠0．

∴t的取值范圍是（﹣4，0）∪（0，4）

【解析】（1）f（x）= ．由0＜m≤4，可得 ，對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．（2）由題意可得：當x＞0時，h（x）=g（x）= ，由于h（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數，可得h（x）= ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上單調遞減，可得|t|＜4，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．