Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC⊥BD，AP=AB=2，BC=2

2

，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE與平面ABP夾角的大小．

Answer 1

分析：解法一（向量法）：以A為坐標原點，AB，AP，所在直線分別為x，z軸建立空間直角坐標系．我們分別求出向量

PC

，

BE

，

DE

的坐標，根據向量的數量積為0時，兩向量垂直，可得

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

DE

，進而由線面垂直的判定定理即可得到PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）分別求出平面BDE與平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面BDE與平面ABP夾角的大小．
解法二（幾何法）：由已知中AP=AB=2，BC=2

2

，E是PC的中點，我們可證得BE⊥PC，又由PA⊥平面ABC，由線面垂直的性質可得PA⊥BD，進而由線面垂直的判定定理得到PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結合可得PC⊥平面BDE，由平面與平面夾角的定義可得，直線PC與BC的夾角即為平面BDE與平面BAP的夾角，解△PBC，即可得到平面BDE與平面BAP的夾角．

解答：解：解法一：（Ⅰ）如圖以A為坐標原點，AB，AP
所在直線分別為x，z軸建立空間直角坐標系．
∵AP=AB=2，BC=2

2

，AC⊥BD，
在Rt△ABC中，由射影定理得AD=

2 3

3

，則AD：DC=1：2
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C(2，2

2

，0)，D(

2

3

，

2 2

3

，0)，P（0，0，2）
又E是PC的中點，∴E(1，

2

，1)
∴

PC

=(2，2

2

，-2)，

BE

=(-1，

2

，1)，

DE

=(

1

3

，

2

3

，1)，
∴

PC

•

BE

=-2+4-2=0，

PC

•

DE

=

2

3

+

4

3

-2=0
∴

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

DE

，
又DE∩BE=E，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BDE的法向量

n

1=

PC

=(2，2

2

，-2)，
平面BAP的法向量

n

2=

BC

=(0，2

2

，0)，∴

n

1•

n

2=8
設平面BDE與平面ABP的夾角為θ，
則cosθ=|cos(

n

1，

n

2)|=

| n 1• n 2|

| n 1|| n 2|

=

8

4×2 2

=

2

2

，∴θ=45°，
∴平面BDE與平面ABP的夾角為45°（12分）
解法二：（Ⅰ）∵在Rt△PAB中，AP=AB=2，
∴PB=

AP2+AB2

=2

2

=BC
又E是PC的中點，∴BE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD?平面ABC
∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，
又由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE，
∴直線PC與BC的夾角即為平面BDE與平面BAP的夾角，
在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，∠PCB=45°
所以平面BDE與平面BAP的夾角為45°（12分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，直線與平面垂直的判定，其中解法一的關鍵是建立恰當的空間坐標系，將線面及面面關鍵轉化為向量夾角問題，解法二的關鍵是熟練掌握線線，線面垂直之間的轉化關系，及二面角的定義．