Question

【題目】已知橢圓：的離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）設直線過點且與橢圓交于，兩點．過點作直線的垂線，垂足為．證明直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由離心率及可求得，得橢圓方程；

（2）當直線的斜率存在時，設，，．直線：，與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得，求出直線方程，再求出與交點的橫坐標，代入可得其為定值，得定點，直線的斜率不存在時，可直接求出直線方程，也過該定點，從而證得結論成立．

（1）解：由題意可得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

不妨設，，，

此時，直線的方程為，所以直線過點．

②當直線的斜率存在時，設，，．直線：．

由得，

所以，．（*）

直線：，令，得，

所以．（**）

將（*）代入（**）可得．

所以直線過點．

綜上所述，直線過定點．