Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若在處取到極值，求，的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意可得，求出，的值，然后令，求出單調(diào)遞增區(qū)間，令，求出單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）令，，是關(guān)于的一次函數(shù)且為減函數(shù)，根據(jù)題意只需令，存在，使得即可，求出，令，討論的取值范圍，確定的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

解：（1），

由題意，得，

即，解得

所以，．

所以，．

令，解得．令，解得．

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2）令，，

則是關(guān)于的一次函數(shù)且為減函數(shù)，

由題意，對任意，都存在，使得成立，．

則在有解．

令，只需存在，使得即可．

由于，

令，，則在上遞增，．

①當時，，，即，在單調(diào)遞增，

故，不符合題意．

②當時，，，

若，則，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減，

所以存在，使得，符合題意．

若，則，所以在上一定存在實數(shù)，使得，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減，

所以存在，使得，符合題意．

綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立．