Question

【題目】已知R，函數．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若函數在區間上單調遞減，求的取值范圍；

（3）求函數在上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出函數的導數，根據切線的斜率求出a的值即可；（2）求函數導數，由函數在區間上單調遞減轉為在上恒成立，分離參數轉為求最值問題；（3）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求函數的單調區間，由單調性可求函數最值．

（1）因，則．

而直線的斜率為，則，得．

（2）由在上單調遞減，得在上恒成立，

即在上恒成立，得．

（3）由于，，所以

當時，，在上遞增，故；

當時，，在上遞減，故；

當時，由得，，．

在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數．

在上最小值只能是或．

令 ，則，，

，

于是，當時，；當時，．

所以，當時，；

當時，．

綜上，在上的最小值為