Question

（2011•洛陽二模）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），直線l的參數方程為

x=- 3 +t y= 3 t

（t為參數）．以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C₂的極坐標方程為ρ=asinθ（a＞0）．
（1）當直線l與曲線C₂相切時求a的值；
（2）求直線l被曲線C₁所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）參數方程化為普通方程，極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式，建立等式，即可求a的值；
（2）將曲線C₁的參數方程化為普通方程，將直線的參數方程化為標準形式，利用參數的幾何意義，即可求弦長．

解答：解：（1）直線l的參數方程為

x=- 3 +t y= 3 t

（t為參數），化為普通方程為y=

3

(x+

3

)，即

3

x-y+3=0
曲線C₂的極坐標方程為ρ=asinθ（a＞0），化為直角坐標方程為x²+y²-ay=0，即x2+(y-

a

2

)2=

a2

4

∵直線l與曲線C₂相切，
∴

|- a 2 +3|

3+1

=

a

2

，∴a=2；
（2）曲線C₁的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），化為普通方程為

x2

4

+y2=1
直線l的參數方程，可化為

x=- 3 + 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數），代入橢圓方程可得13t²-4

3

t-4=0
設方程的根為t₁，t₂，∴t₁+t₂=

4 3

13

，t₁t₂=-

4

13

∴直線l被曲線C₁所截得的弦長為|t₁-t₂|=

( 4 3 13 )2+ 16 13

=

16

13

．

點評：本題考查參數方程化為普通方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．