Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）

【解析】

（1）當時，利用導數求得的單調區間.

（2）求得的定義域為導函數，對分成三種情況，結合的單調性、零點存在性定理，分類討論求得的取值范圍.

（1）的定義域為.

當時，，

所以，

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）的定義域為.

.

（i）若時，.

，，

在有零點.

（ii）若時，則當時，，

故在上單調遞增，.

取，

，

所以在有零點.

（iii）若時，當時，.

當時，，

故在上單調遞增，在上單調遞減.

此時.

取，則，

只需滿足即可，

.

令，

，即在單調遞增，且.

所以要保證，只需滿足.

故只需滿足，即.

綜上所述的取值范圍是.