Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是菱形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過菱形的性質證得，通過等腰三角形的性質證得，由此證得平面，從而證得平面平面.

（2）方法一通過幾何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通過建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明：記，連接．

因為底面是菱形，

所以，是的中點．

因為，所以．

因為，

所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（2）因為底面是菱形，，，

所以是等邊三角形，即．

因為，所以．

又，，所以，

即．

方法一：因為是的中點，所以，

因為，所以，

所以和都是等腰三角形．

取中點，連接，則，且，

所以是二面角的平面角．

因為，且，

所以．

因為，

，

所以．

所以二面角的余弦值為．

方法二：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，．

設平面的法向量為

由，得，

令，得.

同理，可求平面的法向量．

所以

．

所以，二面角的余弦值為．