Question

【題目】已知a，b為常數，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．
（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一實數根，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a=1時，求函數f（x）在區間[﹣1，2]上的最大值與最小值；
（Ⅲ）當x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）

（ I）方程f（x）﹣x=0有唯一實數根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，∴（2a+1）2=0，解得 ∴

（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3若f（x）min=f（1）=﹣1

（Ⅲ）解法一、當x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即： 在區間[2，+∞）上恒成立，

設 ，顯然函數g（x）在區間[2，+∞）上是減函數，gmax（x）=g（2）=2當且僅當a≥gmax（x）時，不等式f（x）≥2﹣a2在區間[2，+∞）上恒成立，因此a≥2

解法二、因為 當x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，所以 x≥2 時，f（x）的最小值≥2﹣a

當a＜0時，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）單調遞減，f（x）≤0恒成立而2﹣a＞0所以a＜0時不符合題意．

當a＞0時，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）單調遞增，f（x）的最小值為f（2）=0所以 0≥2﹣a，即a≥2即可

綜上所述，a≥2

【解析】（Ⅰ）由二次函數根的情況可得當方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解時即可得a的值求出函數解析式。（II）根據二次函數在指定區間[﹣1，2]上的最值可得。（Ⅲ）整理不等式f（x）≥2﹣a可得， a ≥ ,由題意根據二次函數的最值可得。
【考點精析】關于本題考查的二次函數在閉區間上的最值，需要了解當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能得出正確答案．